\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\include{header}
\textheight 680pt
\hoffset=-15mm
\voffset=-15mm
\begin{document}
\centerline{\bf Magasdimenziós geometria feladatsor}
%\centerline{/Naszódi Márton/}

\medskip
\noindent
{\it Definíciók}
\medskip

$\Red=\{\vect{v}=(v_1,\ldots,v_d)\st v_1,\ldots,v_d\in\Re\}$.

Skaláris szorzás: $\vect{u}\cdot\vect{v}=\langle 
\vect{u},\vect{v}\rangle=u_1v_1+\ldots+u_dv_d$.

Norma: $|\vect{u}|^2=\vect{u}\cdot\vect{u}=u_1^2+\ldots+u_d^2$.

Távolság: $d(\vect{u},\vect{v})=|\vect{u}-\vect{v}|$.

Szög: $\cos 
\sphericalangle(\vect{u},\vect{v})=\frac{\vect{u}\cdot\vect{v}}{|\vect{u}||\vect
{v}|}$, feltéve, hogy $\vect{u},\vect{v}\neq \vect{0}$.

Hipersík: Adott $\vect{n}\in\Red\setminus\{\vect{0}\}$ és $\lambda\in\Re$. 
Ekkor a
\[
H=\{\vect{v}\in\Red\st \vect{n}\cdot\vect{v}=\lambda\} 
\]
halmaz egy $\vect{n}$ normálvektorú hipersík. Másképp: $H$ az 
$n_1v_1+\ldots+n_dv_d=\lambda$ lineáris, $d$-ismeretlenes (ismeretlenek: 
$v_1,\ldots,v_d$) 
egyenlet megoldáshalmaza.

Zárt féltér: Adott $\vect{n}\in\Red\setminus\{\vect{0}\}$ és $\lambda\in\Re$. 
Ekkor az
\[
F=\{\vect{v}\in\Red\st \vect{n}\cdot\vect{v}\leq\lambda\} 
\]
halmaz egy $\vect{n}$ külső normálvektorú féltér.

\medskip
\noindent
{\it Skaláris szorzás, távolság, szög}
\medskip

\plainex
$\Re^3$-ban: Ha egy tetraéder két-két szemközti éle merőleges egymásra, 
akkor a harmadik élpár tagjai is azok.\hint{1. megoldás: a bennfoglaló 
parallelepipedon élei azonos hosszúak. 2. megoldás: Ha 
$\vect{a}(\vect{b}-\vect{c})=0$ és $\vect{b}(\vect{c}-\vect{a})=0$, akkor 
$\vect{c}(\vect{a}-\vect{b})=0$.}

\plainex Legyen $P_1,\ldots,P_n$ síkbeli konvex sokszög, $O$ tetszőleges pont. 
Igazoljuk, hogy az $[O,P_i]$ szakaszok Thálesz-köreinek uniója fedi a sokszöget.
\hint{Ha $Q$ nincs a körök uniójában, akkor az $OQP_i$ szög hegyesszög minden 
$i$-re, így az összes $P_i$ a $Q$-ra illeszkedő, $OQ$ normálvektorú egyenes 
által határolt $O$-t tartalmazó félsíkban van.}


\plainex 
Mondjuk ki és igazoljuk a Thálesz-tételt $d$-dimenzióban.
\hint{A $[-\vect{a},\vect{a}]$ szakasz Thálesz-gömbje: $\{\vect{v}\in\Red\st 
\vect{v}\cdot\vect{v}= \vect{a}\cdot\vect{a}\}$. Másrészt a 
$-\vect{a}\vect{v}\vect{a}$ szög pontosan akkor derékszög, ha
$(\vect{a}+\vect{v})\cdot(\vect{a}-\vect{v})=0$.
}

\plainex 
Igazoljuk $d$ dimenzióban a háromszög-egyenlőtlenséget.
\hint{Fel kell használni a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenséget, 
amely szerint $|\vect{a}\cdot\vect{b}|\leq|\vect{a}| |\vect{b}|.$}

\plainex 
$\Red$-ben hány egy pontból induló félegyenest lehet úgy felvenni, hogy a 
páronkénti szögek megegyezzenek?
\hint{Dimenzió szerinti indukció. $\vect{v_1},\ldots,\vect{v_n}$ 
egységvektorok. Vetítsünk a $\vect{v_n}$-re merőleges hipersíkra: 
$\vect{v_i}^{\prime}:=\vect{v_i}-\vect{v_n}(\vect{v_i}\cdot\vect{v_n})$ (ez 
nagyon fontos: a skaláris szorzásnak ez a képlet a geometriai jelentése). Ekkor 
a $\vect{v_i}^{\prime}$-k azonos hosszúak, és a páronkénti 
skaláris szorzataik (így a szögeik is) megegyeznek (számolás, használjuk: 
$\vect{v_i}\cdot\vect{v_j}=\vect{v_k}\cdot\vect{v_\ell}$, ha $i\neq j$ és 
$k\neq \ell$).}


\medskip
\noindent
{\it Hipersík}
\medskip

\plainex 
Írjuk fel a kör/gömb adott pontbeli érintő-egyenesének/síkjának az egyenletét.

\plainex 
Legyen $K$ konvex halmaz $\Red$-ben, $\vect{p}\in\Red\setminus K$. Tegyük fel, 
hogy 
a $\vect{q}\in K$ pont a $K$ halmaz $\vect{p}$-hez legközelebbi pontja. 
Belátandó, hogy a 
$\vect{q}$-ra 
illeszkedő, $\vect{q}\vect{p}$ egyenesre merőleges hipersík támasz-hipersíkja 
$K$-nak, azaz 
$K$ az ezen hipersík által határolt egyik (zárt) féltérben van.
\hint{Ha lenne olyan $\vect{z}\in K$ pont, amelyre 
$\vect{z}\cdot(\vect{p}-\vect{q})>\vect{q}\cdot(\vect{p}-\vect{q})$, akkor 
elegendően kicsi $t>0$ számra 
$\vect{q}^{\prime}:=\vect{q}+t(\vect{z}-\vect{q})\in K$ teljesülne, de 
$\vect{q}^{\prime}$ közelebb lenne $\vect{p}$-hez, mint $\vect{q}$.}


\bigskip
\noindent
{\it Egyebek}
\nopagebreak\medskip

\plainex Mennyi az $\Re^3$-beli szabályos egység élhosszú tetraéder körülírt 
gömbjének a sugara?
\hint{1. megoldás: Ágyazzuk be $\Re^4$-be. 2. megoldás: Ágyazzuk be a kockába.}

\plainex 
Hogy szólhat a $d$-dimenziós \emph{Euler-formula}? Nézzük meg szimplexre 
(tetraéder), 
kockára, kereszt-politópra (oktaéder).
\hint{Tétel: Minden $d$-dimenziós konvex poliéderre, ha 
$f_0,f_1,\ldots,f_{d-1}$ jelöli a csúcsok, 
élek,\ldots, hiperlapok számát, és (mesterségesen) bevezetjük az 
$f_{-1}=f_{d}=1$ jelöléseket, akkor $\sum_{i=-1}^d (-1)^if_i=0$. (Kis csalás: 
nem definiáltuk az $i$-dimenziós lapokat, nem is lenne könnyű, ezért muszáj a 
háromdimenziós szemléletre bízni.)
\\
A képlet igazolása szimplexre: $f_i=\binom{d+1}{i+1}$, ezt el kell hinni. Így 
$\sum_{i=-1}^d (-1)^if_i=(1-1)^{d+1}$.
\\
Igazolás kockára dimenzió szerinti indukcióval: Lássuk be, hogy 
$f_i^d=f_{i-1}^{d-1}+2f_{i}^{d-1}$, ahol a felsőindex a kocka dimenziója.
\\
Igazolás keresztpolitópra hasonlóan: $f_i^d=2f_{i-1}^{d-1}+f_{i}^{d-1}$.
}


\plainex 
Fejezzük ki az $\vect{a},\vect{b}$ vektorokkal az $[\vect{a},\vect{b}]$ szakasz 
felezőpontjának a helyvektorát. Fejezzük ki a szakaszt $3:4$ arányban osztó, 
$\vect{a}$-hoz közelebbi pont helyvektorát. Fejezzük ki az 
$\vect{a},\vect{b},\vect{c}$ csúcsvektorokkal a háromszög $\vect{c}$-ből induló 
súlyvonalát $2:5$ arányban osztó, $\vect{c}$-hez közelebbi pont helyvektorát.
\hinta{Cél a konvex kombináció bevezetése.}

\plainex 
Igazoljuk, hogy a $d$-dimenziós egységgömb konvex halmaz.
\hint{Háromszögegyenlőtlenség.}

\medskip
\noindent
{\it Helly tétele}
\medskip

\plainex 
Adott a síkon négy pont. Igazoljuk, hogy kettéoszthatók úgy, hogy a két rész 
konvex burka metszi egymást.

\plainex 
Adott a térben öt pont. Igazoljuk, hogy kettéoszthatók úgy, hogy a két rész 
konvex burka metszi egymást. (nehéz)
\hint{Feltehető, hogy $P_4$ és $P_5$ a $P_1P_2P_3$ sík, $H$, két különböző 
oldalán van. Vetítsük $P_5$-öt $P_4$-ből középpontosan $H$-ra: $P_5^{\prime}$. 
A $H$ síkot a $P_1P_2P_3$ háromszög oldalegyenesei 7 részre partícionálják. 
Esetszétválasztás: nézzük meg melyik részbe esik $P_5^{\prime}$.}


\emph{Radon-lemma:} Adott $\Red$-ben $d+2$ pont. Ekkor kettéoszthatók 
úgy, hogy a két rész konvex burka metszi egymást. (Erre nem ismerek szép 
középiskolás igazolást.)

\plainex 
A Radon-lemma segítségével igazoljuk \emph{Helly tételét}: Adott $\Red$-ben 
véges sok konvex halmaz, 
$K_1,\ldots,K_n$, ahol $n\geq d+1$. Tegyük fel, hogy bárhogy választunk ki 
közülük $d+1$-et, ezek metszete nem üres. Ekkor $K_1\cap\ldots\cap 
K_n\neq\emptyset$.

\hint{Először lássuk be, hogy elég az állítást az $n=d+2$ esetben igazolni. 
Másodszor adott $K_1,\ldots,K_{d+2}$. 
Legyen $P_i\in\cap_{j=1, j\neq i}^{d+2}K_j$, alkalmazzuk a Radon-lemmát.} 

\plainex 
Tegyük fel, hogy az $F_1,\ldots,F_n$ félterek fedik $\Red$-t, azaz az uniójuk 
az egész tér. Lássuk be, hogy kiválasztható közülük $d+1$, amelyek fedik 
$\Red$-t.
\hint{Helly tétele a félterek komplementereire.}


\plainex 
Adott véges sok pont $\Red$-ben, amelyek közül bármely $d+1$ lefedhető egy 
egységgömbbel. Igazoljuk, hogy az összes is.
\hint{Cél: olyan pont találása, amely benne van a pontok körüli egységgömbök 
metszetében.}


\plainex 
Adott véges sok pont $\vect{p_1},\ldots,\vect{p_n}\in\Red$ és egy konvex 
halmaz, $K$. Tegyük fel, hogy a 
pontok közül bármely $d+1$ lefedhető $K$ egy eltoltjával. Igazoljuk, hogy az 
összes is.
\hint{Észrevétel: a $\vect{t}+K:=\{\vect{t}+\vect{k}\st \vect{k}\in K\}$ eltolt 
fedi a $\vect{p_i}$ pontot $\Leftrightarrow 
\vect{t}\in\vect{p_i}-K:=\{\vect{p_i}-\vect{k}\st \vect{k}\in K\}$. 
Így a cél: $\cap_{i=1}^n(\vect{p_i}-K)\neq\emptyset$.}

\end{document}

