\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\hoffset=0.7cm
\swapnumbers
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{feladat}{feladat}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{mj}{Megjegyzés}
\newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}}
\renewcommand\labelenumi{(\theenumi)}
\newcommand{\e}{\varepsilon}
\newcommand{\sep}{|}
\newcommand{\iii}{\i}
\newcommand{\summ}{\sum\limits}

\begin{document}

\begin{center}
{\bf A 2005.  \'evi  Schweitzer Mikl\'os Eml\'ekverseny feladatai}
\end{center}
\vspace{20pt}

\begin{feladat}
Jelölje $[n]$ az $\{1,2,\dots,n\}$ halmazt. Tetszőleges $a,b\in\mathbb N$ esetén je\-lent\-se $G(a,b)$ a következő előírással definiált (nem irányított) gráfot: a csúcsok $(i,f)$ alakúak, ahol $i\in[a]$, és $f:[a]\to[b]$. Egy $(i,f)$ és egy $(j,g)$ csúcsot akkor köt össze él, ha $i\neq j$, és $f(k)\neq g(k)$ pontosan a szigorúan $i$ és $j$ közötti $k$ értékekre teljesül, a többi $k$-ra $f(k)=g(k)$. Igazoljuk, hogy bármely $c\in\mathbb N$ esetén van olyan $a,b\in\mathbb N$, hogy $G(a,b)$ csúcsai nem színezhetők jól $c$ számú színnel.
\end{feladat}

\begin{feladat}
Legyen $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ egész számok olyan sorozata, amely minden $n\ge 2$-re eleget tesz a
$$
0\le a_{n-1}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_n + a_{n+1}<1
$$
egyenlőtlenségnek. Bizonyítsuk be, hogy $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ periodikus.
\end{feladat}

\begin{feladat}
Legyen $\alpha\leq 22$ nemnegatív egész szám. Melyik $\alpha$ esetén lesz a
$$
8x^{23}-5^{\alpha}y^{23}=1
$$
egyenletnek a legtöbb $(x,y)$ egész megoldása? Mit mondhatunk $\alpha\geq 23$ esetén?
\end{feladat}

\begin{feladat}
Legyen $F$ megszámlálható szabad csoport, és legyen
$F=H_{1}>H_{2}>H_{3}>\ldots $ az $F$ csoport véges
indexű részcsoportjainak egy leszálló lánca. Tegyük
fel, hogy a lánc $\cap _{i\in \mathbb N}H_{i}$ metszete
nem tartalmazza $F$ egyetlen nemtriviális
nor\-mál\-osz\-tó\-ját sem.
%Lássuk be,
Igazoljuk, hogy léteznek olyan
$g_{i}\in F$ elemek, amelyekre a $H_{i}^{g_{i}}$ konjugált részcsoportok
szintén láncot alkotnak, és $\cap _{i}H_{i}^{g_{i}}=\{1\}$.
\end{feladat}

\begin{feladat}
Legyen $GL(n,K)$ a $K$ test feletti lineáris csoport ellátva a $K$ test egy $x\mapsto|x|$ nem-archimedesi abszolút értéke által indukált topológiával.
Igazoljuk, hogy ha az
$M\in GL(n, K)$ mátrixot tartalmazza $GL(n, K)$ valamely kompakt
részcsoportja, akkor $M$ minden saját\-értéke $1$ abszolút értékű.
\end{feladat}


\begin{feladat}
Tegyük fel, hogy az $$SU_2(\mathbb{C})=\left\{\begin{pmatrix}
z & w \\
-\overline{w} & \overline{z}
\end{pmatrix}: z,w\in\mathbb{C},z\overline{z}+w\overline{w}=1\right\}.$$
mátrixcsoport $A$ elemének $e^{i\theta_1}$ és $e^{-i\theta_1}$, a $B$ elemének pedig
$e^{i\theta_2}$ és $e^{-i\theta_2}$ a saját\-ér\-té\-kei, ahol $0\leq \theta_i\leq \pi.$
Bizonyítsuk be, hogy ha $e^{i\theta_3}$ sajátértéke $AB$-nek, akkor teljesül a
$$
|\theta_1-\theta_2|\leq \theta_3\leq\min\left\{\theta_1+\theta_2,2\pi-(\theta_1+\theta_2)\right\}
$$
egyenlőtlenség.
\end{feladat}


\begin{feladat}
Legyen $t\in\mathbb{R}.$ Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor létezik olyan $0\neq A : \mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ szimmetrikus, biadditív függvény, melyre
$$
A(tx,x)=0,\quad\forall x\in\mathbb{R},
$$
ha $t$ nem algebrai, vagy algebrai és a definiáló polinomjának $-t$ is zérushelye.
\end{feladat}


\begin{feladat}
Határozzuk meg mindazon $\varphi:\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R}$ folytonos és szigorúan monoton függvényeket, amelyekre az
$$
F(x,y)=\varphi^{-1}\left(\frac{x\varphi(x)+y\varphi(y)}{x+y}\right)
+\varphi^{-1}\left(\frac{y\varphi(x)+x\varphi(y)}{x+y}\right)\quad x,y\in\mathbb{R}_+
$$
függvény homogén, azaz $F(tx,ty)=tF(x,y)$ minden $t,x,y\in\mathbb{R}_+$ esetén.
\end{feladat}

\begin{feladat}
Igazoljuk, hogy
ha $r_n$ olyan komplex racion\'alis
t\"ortf\"uggv\'eny,
amelyben mind a sz\'aml\'al\'o, mind a
nevez\H o foksz\'ama legfeljebb $n$, akkor
$$
\|r_n\|_{1/2}+\Big\|\frac{1}{r_n}\Big\|_2 \geq  {\frac{1}{2^{n-1}}},
$$
ahol $\|\cdot \|_a$ az orig\'o k\"or\"uli $a$ sugar\'u
k\"or\"on vett
szupr\'emumot jel\"oli.
\end{feladat}

\begin{feladat}
Adott 5 nemzérus vektor a háromdimenziós euklideszi térben. Bizonyítsuk be, hogy a páronként bezárt szögeik összege legfeljebb $6\pi.$
\end{feladat}

\begin{feladat}
Legyen $E:\mathbb R^n\setminus\{0\}\to\mathbb R_+$ akárhányszor differenciálható, má\-sod\-fo\-kú pozitív homogén (azaz tetszőleges $\lambda$ pozitív valós szám és $p\in\mathbb R^n\setminus\{0\}$ pont esetén az $E(\lambda p)=\lambda^2E(p)$ relációnak eleget tevő) függvény. Bizonyítsuk be, hogy ha az $E''(p):\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R$ második derivált bármely $p\in\mathbb R^n\setminus\{0\}$ pontban nemelfajuló bilineáris forma, akkor $E''(p)$ $(p\in\mathbb R^n\setminus\{0\})$ pozitív definit.
\end{feladat}

\begin{feladat}
Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok,
$S_n=\sum_{k=1}^n\xi_k$.

(a) Legyen $P(|\xi_1|\le 1)=1$, $E\xi_1=0$, $E\xi_1^2=\sigma^2 >0$.
Mutassuk meg, hogy minden $u\ge 2n\sigma^2$ sz\'amra
$P(S_n\ge u)\le e^{-Cu\log (u/n\sigma^2)}$ alkalmas (univerz\'alis) $C>0$ sz\'ammal.

(b) Legyen speci\'alisan
$P(\xi_1=1)=P(\xi_1=-1)=\frac{\sigma^2}2$, $P(\xi_1=0)=1-\sigma^2$
valamely $1>\sigma^2>0$ sz\'ammal. Bizony\'{i}tsuk be, hogy l\'eteznek olyan $B_1<1$, $B_2>1$ \'es $B_3>0$ konstansok, hogy ha valamely $n\ge 1$ \'es  $u\ge1$ eg\'esz sz\'amokra \'erv\'enyesek a $B_1n\ge  u \ge B_2n\sigma^2$
egyenl\H{o}tlens\'egek, akkor $P(S_n\ge u)>e^{-B_3u\log(u/n\sigma^2)}$.
\end{feladat}

\medskip

\begin{mj}
A feladatok szövegében $\mathbb N$ a pozitív egész, $\mathbb R$ a valós, $\mathbb R_+$ a pozitív valós és $\mathbb C$ a komplex számok halmazát jelöli.
\end{mj}
\end{document}