\magnification=\magstep1
\tolerance 1000 
\hoffset -11 truemm

\nopagenumbers

\bigskip 

\centerline{\bf Schweitzer Mikl\'os Matematikai Eml\'ekverseny}

\centerline{\bf 2000. okt\'ober 27-november 6.}

\bigskip\noindent 
{\bf 1.} L\'assuk be, hogy van olyan $f:{[\omega _1]}^2\rightarrow
\omega _1$ f\"uggv\'eny, amelyre

\noindent (i) $f(\alpha,\beta)<\min\{ \alpha, \beta \}$, ha 
$\min\{ \alpha ,\beta \}>0$;

\noindent (ii) ha $\alpha _0<\alpha _1<...<\alpha
_i<...<\omega _1$, akkor $\sup\{ \alpha _i:i<\omega \}=\sup\{
f(\alpha _i,\alpha _j):i,j<\omega \}$.

\bigskip\noindent
{\bf 2.} Adott egy k\"or\"on $n$ piros \'es $n$ k\'ek \'\i v
\'ugy, hogy b\'armely piros \'\i v metsz b\'armely k\'ek \'\i vet. 
Bizony\'\i tsuk be, hogy van olyan pont a k\"or\"on,
melyet legal\'abb $n$ sz\'\i nes \'\i v fed le. 

\bigskip\noindent 
{\bf 3.} Mutassuk meg, hogy minden $n\geq 3$ eg\'esz
sz\'amra van olyan $N(n)$ eg\'esz, hogy teljes\"ul a k\"ovetkez\H o: 
ha $P$ egy legal\'abb $N(n)$ elem\H u s\'\i kbeli 
ponthalmaz, melynek b\'armely h\'arom pontja olyan 
val\'odi h\'aromsz\"oget hat\'aroz meg, mely a belsej\'eben
legfeljebb egy $P$-beli pontot tartalmaz, akkor $P$ pontjai
k\"oz\"ul kiv\'alaszthat\'ok egy olyan konvex $n$-sz\"og
cs\'ucsai, melynek belsej\'ebe egyetlen tov\'abbi pontja sem
esik $P$-nek. 

\bigskip\noindent
{\bf 4.}  Legyenek $a_1<a_2<a_3$ pozit\'\i v eg\'esz sz\'amok. 
Bizony\'\i tsuk be, hogy vannak olyan $x_1,x_2,x_3$ eg\'eszek, 
nem mindegyik $0$, hogy $\sum _{i=1}^3a_ix_i=0$ \'es
$$
  \max _{1\leq i\leq 3}|x_i|\leq{2\over \sqrt 3}\sqrt {a_3}+1.
$$
Mutassuk meg, hogy a $2/\sqrt 3$ hely\'ebe kisebb sz\'amot
\'\i rva az \'all\'\i t\'as nem marad igaz. 

\bigskip\noindent 
{\bf 5.} Igazoljuk, hogy minden $\varepsilon >0$ sz\'amhoz 
van olyan $n$ \'es vannak olyan pozit\'\i v $\{ a_k\} _{k=1}^n$ sz\'amok, 
hogy $\varepsilon < x<2\pi -\varepsilon$ eset\'en 
$$
   \sum_{k=1}^na_k\cos kx <
   -{1\over \varepsilon }\left| \sum _{k=1}^na_k\sin kx\right|.
$$

\bigskip\noindent 
{\bf 6.} Adott a sz\'amegyenes felbont\'asa k\'et nem-megsz\'aml\'alhat\'o 
Borel halmazra. Mutassuk meg, hogy az egyik halmaznak van olyan eltoltja,
amely a m\'asikat nem-megsz\'aml\'alhat\'o halmazban metszi.

\bigskip\noindent 
{\bf 7.} Legyen $H(D)$ a $D=\{z:|z|<1\}$ komplex egys\'egk\"or\"on holomorf 
f\"uggv\'enyek tere a $D$-beli kompakt halmazokon val\'o egyenletes
konvergencia \'altal megadott topol\'ogi\'aval ell\'atva.
Vezess\"uk be $f(z)=\sum _{n=0}^\infty a_nz^n$ eset\'en az
$S_n(f,z)=\sum _{m=0}^n a_mz^m$ jel\"ol\'est. Nevezz\"unk
egy $f\in H(D)$ f\"uggv\'enyt univerz\'alisnak, ha tetsz\H oleges, az 
egys\'egk\"or hat\'ar\'an folytonos, komplex \'ert\'ek\H u $g$ 
f\"uggv\'enyt v\'eve, alkalmas $S_{n(j)}(f,z)$ r\'eszlet\"osszegek minden 
$A_\varepsilon =\{z=e^{it}: 0\leq t\leq 2\pi -\varepsilon \}$, 
$\varepsilon >0$ \'\i ven egyenletesen approxim\'alj\'ak a $g$
f\"uggv\'enyt.

Bizony\'\i tsuk be, hogy $H(D)$-nek van olyan s\H ur\H u $G_\delta$ 
r\'eszhalmaza, melynek minden eleme univerz\'alis. 

\bigskip\noindent 
{\bf 8.} Bizony\'\i tand\'o, hogy ha az $f:{\bf R}^n\rightarrow {\bf R}^m$
lek\'epez\'esre teljes\"ul, hogy \"osszef\"ugg\H o halmaz k\'epe 
\"osszef\"ugg\H o \'es kompakt  halmaz k\'epe kompakt, akkor $f$ 
folytonos. 

\bigskip\noindent 
{\bf 9.} Legyen $M$ z\'art, ir\'any\'\i that\'o, 3-dimenzi\'os
differenci\'alhat\'o sokas\'ag, \'es tegy\"uk fel, hogy $G$
az $M$ ir\'any\'\i t\'astart\'o diffeomorfizmusainak v\'eges
csoportja. Jel\"olje $P$, illetve $Q$ azon $M$-beli pontok
halmaz\'at, amelyek stabiliz\'atora $G$-nek t\"obb, mint egyelem\H u, 
illetve  nem-ciklikus r\'eszcsoportja. Bizony\'\i tsuk be, hogy $P$ 
Euler-karakterisztik\'aja oszthat\'o $G$ rendj\'evel, tov\'abb\'a, hogy a 
$Q$ halmaz $-2{\chi(P)\over |G|}$ darab $G$ szerinti orbit egyes\'\i t\'ese, 
ahol $\chi (P)$ jel\"oli $P$ Euler-karakterisztik\'aj\'at.  

\bigskip\noindent 
{\bf 10.} \'Akos 4, egym\'ast\'ol f\"uggetlen  v\'eletlen sz\'amot
gener\'al a $(0,1)$ intervallumon egyenletes eloszl\'as szerint. Ezek 
k\"oz\"ul az egyiket megmutatja B\'alintnak, akinek meg kell tippelnie, 
hogy a l\'atott sz\'am ``sz\'els\H o''-e, azaz a n\'egy sz\'am k\"oz\"ul 
a legkisebb vagy a leg\-na\-gyobb valamelyike. Van-e \'Akosnak olyan
determinisztikus strat\'egi\'aja, amely mellett B\'alint tal\'alati 
val\'osz\'\i n\H us\'ege nem haladhatja meg az $1/2$-et, ak\'arhogyan 
okoskodj\'ek is?

\bigskip 
\bigskip 
November 7-\'en,  kedden d\'elut\'an 4 \'orai kezdettel a R\'enyi Alfr\'ed 
Matematikai Kutat\'oint\'ezet Nagyterm\'eben megbesz\'elj\"uk a verseny
feladatait. Az int\'ezet c\'\i me: Budapest, V. Re\'altanoda utca 13-15.

Minden \'erdekl\H od\H ot sz\'\i vesen l\'atunk. 
\bigskip

(http://www.bolyai.hu/schweitzer.html) 
\bye