\documentclass[a4paper]{amsart}
%\documentclass[11pt,reqno]{amsart}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym,amsthm}
%\usepackage[T1]{fontenc}

% \begin{document}

\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}

\hyphenation{amely-re pa-ra-met-ri-zált}
\newcommand\pr{\mathop{\mathrm{pr}}\nolimits}
\newcommand\ssum{\mathop{\sum}\nolimits}
\hyphenation{amely-re}

\def\n{\Bbb N}
\def\z{\Bbb Z}
\def\q{\Bbb Q}
\def\r{\Bbb R}
\def\C{\Bbb C}

\def\R{\mathbb{R}}
\renewcommand{\d}{\delta}
\newcommand{\la}{\lambda}
\def\eq#1{{\rm(\ref{E#1})}}
\def\Eq#1#2{\begin{equation}\begin{aligned}\label{E#1}#2\end{aligned}\end{equation}}

% Last modified on 5 October, 2009

\begin{document}

\begin{center}
{\bf \Large A 2009. \'evi Schweitzer Mikl\'os Eml\'ekverseny
feladatai}\\
okt\'ober 30 - november 9.
\end{center}

\vspace{1cm}

{\bf 1.} Egy k\'artyapakli minden k\'arty\'aj\'an a szab\'alyos
17-sz\"og l\'athat\'o oldalaival \'es \'atl\'oival egy\"utt,
cs\'ucsai 1-t\H{o}l 17-ig vannak sz\'amozva. Minden k\'arty\'an az
\"osszes szakasz (oldalak \'es \'atl\'ok) az 1,2,...,105
sz{\'\i}nek valamelyik\'evel van kisz{\'\i}nezve \'ugy, hogy a
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'ag teljes\"ul: a 17-sz\"og b\'armely 15
cs\'ucsa k\"oz\"otti 105 szakasz csupa k\"ul\"onb\"oz\H{o}
sz{\'\i}nnel van sz{\'\i}nezve a pakli legal\'abb egy
k\'arty\'aj\'an. Minimum h\'any k\'artya kell a pakliba?

\vspace{0.4cm}

{\bf 2.} Legyenek $p_1,\ldots,p_k$ pr\'\i msz\'amok, \'es legyen
$S$ az eg\'esz sz\'amok azon r\'eszhalmaza, melynek elemei nem
oszthat\'ok   $p_1,\ldots,p_k$-t\'ol k\"ul\"onb\"oz\H{o} pr\'\i
msz\'ammal. Az eg\'eszek egy v\'eges $A$ r\'eszhalmaza eset\'en
jel\"olj\"uk $\mathcal{G} (A)$-val azt a gr\'afot, melynek
cs\'ucsai az $A$ elemei, \'elei pedig azon $a,b\in A$ p\'arok,
melyekre $a-b\in S$. L\'etezik-e minden $m \geq 3$-ra eg\'eszeknek
olyan $m$ elem\H{u} $A$ r\'eszhalmaza, melyre

\renewcommand\theenumi{\roman{enumi}}

\begin{enumerate}

\item $\mathcal{G}(A)$ teljes?

\item $\mathcal{G}(A)$ \"osszef\"ugg\H{o}, de minden cs\'ucs\'anak a foksz\'ama legfeljebb $2$?

\end{enumerate}

\vspace{0.4cm}

{\bf 3.} Bizony{\'\i}tsuk be, hogy l\'eteznek pozit{\'\i}v $c$
\'es $n_0$ konstansok az al\'abbi tulajdons\'aggal. Ha $A$ eg\'esz
sz\'amokb\'ol \'all\'o v\'eges halmaz, $|A|=n>n_0$, akkor
     $$ |A-A| - |A+A|  \leq  n^2 - c n^{8/5}.  $$

\vspace{0.4cm}

{\bf 4.} Bizony{\'\i}tsuk be, hogy az
$$f(x)=\frac{x^n+x^m-2}{x^{\gcd(m,n)}-1}$$ polinom irreducibilis
$\q$ felett minden $n>m>0$ eg{\'e}sz sz\'am eset{\'e}n.

\vspace{0.4cm}

{\bf 5.} Legyen  $G$ v\'eges nemkommutat{\'\i}v csoport, melynek
rendje $t=2^nm$, ahol $n, m$ pozit{\'\i}v eg\'esz  sz\'amok \'es $m$ p\'aratlan.
Bizony{\'\i}tsuk be, hogy ha a csoport tartalmaz $2^n$-ed
rend\H{u} elemet, akkor

\renewcommand\theenumi{\roman{enumi}}

\begin{enumerate}
\item  $G$ nem egyszer\H{u}  csoport;
\item  $G$ tartalmaz $m$-ed rend\H{u} norm\'alis r\'eszcsoportot.
\end{enumerate}

\vspace{0.4cm}

{\bf 6.} Egy v\'eges $(S,L)$ illeszked\'esi strukt\'ur\'at Steiner
h\'armasrendszernek nevez\"unk, ha  $L\neq \emptyset$, b\'armely
k\'et $x,y\in S$, $x\neq y$ pontra illeszkedik egyetlen $\ell\in
L$ egyenes \'es minden $\ell\in L$ egyenesre illeszkedik pontosan
h\'arom pont. Legyen $(S,L)$ Steiner h\'armasrendszer, az
$x\neq y$ pontokra illeszked\H{o} egyenes harmadik pontj\'at
jel\"olje $xy$. Legyen $A$ olyan csoport, amelynek a $C(A)$
centruma szerinti faktorcsoportja pr{\'\i}mhatv\'any rend\H{u}.
Legyenek $f, h: S \to A$ olyan lek\'epez\'esek, hogy $C(A)$
tartalmazza $f$ k\'ephalmaz\'at, $h$ k\'ephalmaza pedig
gener\'alja $A$-t.
\newline
\noindent
Igazoljuk, hogy ha $S$ b\'armely k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} $x,y$ elem\'ere
$$f(x)=h(x)h(y)h(x)h(xy)$$
teljes\"ul, akkor $A$ kommutat{\'\i}v csoport, \'es van olyan $k\in A$, hogy minden \ $x \in S$ elemre $f(x)=k h(x)$.

\newpage

{\bf 7.} Legyen $H$ az $M$ differenci\'alhat\'o sokas\'ag
$\mathsf{Diff}^{\infty}(M)$ diffeomorfizmuscsoportj\'anak
tetsz\H{o}leges r\'eszcsoportja. Az $X$ ${\mathcal
C}^{\infty}$-vektormez\H{o} a $H$ csoportot \emph{gyeng\'en
\'erinti}, ha van olyan pozit{\'\i}v eg\'esz $k$ sz\'am \'es olyan
${\mathcal C}^{\infty}$-differenci\'alhat\'o
$\varphi:\left]-\varepsilon,\varepsilon\right[^k\times M\to M$
lek\'epez\'es, amelyre
\begin{enumerate}
\item[(i)]
r\"ogz{\'\i}tett $t_1,\dots,t_k$ eset\'en a
\[
\varphi_{t_1,\dots,t_k}:x\in M\mapsto\varphi(t_1,\dots,t_k,x)
\]
lek\'epez\'es diffeomorfizmusa $M$-nek, \'es $\varphi_{t_1,\dots,t_k}\in H$;
\item[(ii)] $\varphi_{t_1,\dots,t_k}=\mathsf{Id}$, ha valamely
  $t_j=0,\;\; 1 \leq j\leq k;$
\item[(iii)] tetsz\H{o}leges $f:M\to\mathbb R$\; ${\mathcal C}^{\infty}$-f\"uggv\'enyre
\[
Xf = \left.\frac{\partial^k(f\circ\varphi_{t_1,\dots,t_k})}{\partial
    t_1\ldots\partial t_k}\right|_{(t_1,\dots,t_k)=(0,\dots,0)}.
\]
\end{enumerate}
Igazoljuk, hogy a $H\!\subset\!\mathsf{Diff}^{\infty}(M)$ csoportot
gyeng\'en \'erint\H{o} ${\mathcal C}^{\infty}$-vektormez\H{o}k kommut\'atorai is gyeng\'en \'erintik $H$-t.

\vspace{0.4cm}

{\bf 8.} Legyen $\{A_n\}_{n \in \n}$ a sz\'amegyenes m\'erhet\H o
r\'eszhalmazainak egy olyan sorozata, amely majdnem minden pontot
v\'egtelen sokszor lefed. Igazoljuk, hogy megadhat\'o $B \subset
\n$ nulls\H ur\H us\'eg\H u halmaz \'ugy, hogy $\{A_n\}_{n \in B}$
is majdnem minden pontot v\'egtelen sokszor lefed. ($B \subset \n$
nulls\H ur\H us\'eg\H u, ha $\lim_{n \to \infty} \frac{\#\{B \cap
\{0, \dots, n-1\}\}}{n} = 0$.)


\vspace{0.4cm}

{\bf 9.} Legyen $P\subseteq \r^m$ egy nem\"ures kompakt konvex
halmaz \'es $f: P\rightarrow \r_{+}$ egy konk\'av f\"uggv\'eny.
Igazoljuk, hogy minden $\xi\in \r^m$ eset\'en

$$\int_{P}\langle \xi,x \rangle f(x)dx\leq \left[\frac{m+1}{m+2}\sup_{x\in P}{\langle\xi,x\rangle}+\frac{1}{m+2}\inf_{x\in P}{\langle\xi,x\rangle}\right]
\cdot\int_{P}f(x)dx.$$

\vspace{0.4cm}

{\bf 10.} Legyen $U\subset\mathbb R^n$ ny{\'\i}lt halmaz,
$L:U\times\mathbb R^n\to\mathbb R$ folytonos, a m\'asodik
v\'altoz\'oj\'aban els\H{o}fok\'u pozit{\'\i}v homog\'en,
$U\times(\mathbb R^n\setminus\{0\})$ f\"ol\"ott pozit{\'\i}v \'es
$C^2$-oszt\'aly\'u Lagrange-f\"uggv\'eny, amelyre teljes\"ul, hogy
tetsz\H{o}leges $p\in U$ eset\'en a
\[
\{v\in\mathbb R^n|L(p,v)=1\}
\]
hiperfel\"ulet Gauss-g\"orb\"ulete seholsem z\'erus. Hat\'arozzuk meg $L$ extrem\'alisait, ha eleget tesz a
\[
\sum_{k=1}^ny^k\partial_k\partial_{n+i}L=\sum_{k=1}^ny^k\partial_i\partial_{n+k}L
\quad(i\in\{1,\dots,n\})
\]
parci\'alis differenci\'alegyenlet-rendszernek, ahol $y^k(u,v):=v^k$, ha $(u,v)\in U\times\mathbb R^n$, $v=(v^1,\dots,v^n)$.

\vspace{0.4cm}

{\bf 11.} Jel\"olje $H_n$ az $n\times n$-es \"onadjung\'alt
komplex m\'atrixok line\'aris ter\'et \'es ebben $P_n$ a
pozit{\'\i}v szemidefinit m\'atrixok k\'upj\'at. Tekints\"uk
$H_n$-en a szok\'asos bels\H{o}szorzatot
\[
\langle A,B\rangle =\tr AB \qquad (A,B\in H_n)
\]
\'es a bel\H{o}le sz\'armaz\'o metrik\'at. Mutassuk meg, hogy b\'armely $\phi:P_n \to P_n$ izometria (azaz a fenti metrik\'ara vonatkoz\'o, nem fel\'etlen\"ul sz\"urjekt{\'\i}v t\'avols\'agtart\'o lek\'epez\'es) el\H{o}\'all
\[
\phi(A)=UAU^*+X \qquad (A\in H_n)
\]
vagy
\[
\phi(A)=UA^{T}U^*+X \qquad (A\in H_n)
\]
alakban valamely $n\times n$-es $U$ unit\'er m\'atrix \'es $X$ pozit{\'\i}v szemidefinit m\'atrix seg{\'\i}ts\'eg\'evel, ahol $^T$ a transzpon\'al\'ast, $^*$ az adjung\'al\'ast jel\"oli.

%\vspace{0.4cm}
\newpage

{\bf 12.} Legyenek $Z_1,\,Z_2\dots,\,Z_n$\ \ $d$-dimenzi\'os
standard norm\'alis eloszl\'as\'u f\"uggetlen (osz\-lop)vektorok,
$n-1>d$. Legyen tov\'abb\'a
\begin{equation*}
\overline Z=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Z_i,\quad
S_n=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(Z_i-\overline Z)(Z_i-\overline Z)^\top
\end{equation*}
a minta\'atlag, illetve a korrig\'alt tapasztalati kovarianciam\'atrix.
Tekints\"uk az $Y_i=S_n^{-1/2}(Z_i-\overline Z)$, $i=1,2,\dots,n$
standardiz\'alt mint\'at. Bizony\'\i tand\'o, hogy
\begin{equation*}
\frac{E|Y_1-Y_2|}{E|Z_1-Z_2|}>1,
\end{equation*}
\'es a h\'anyados nem f\"ugg $d$-t\H ol, csak $n$-t\H ol.

\vspace{0.5cm}

\noindent Bead\'asi hat\'arid\H{o}: {\bf 2009. november 9.
(h\'etf\H{o}) 12.00 \'ora.} A megold\'asokat a Bolyai J\'anos
Matematikai T\'arsulat helyi tagozat\'an\'al kell beny\'ujtani
vagy ezen id\H{o}pontig aj\'anlottan post\'ara kell adni a
versenybizotts\'ag c{\'\i}m\'ere:

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
Gy\H{o}ry K\'alm\'an, DE TTK, Matematikai Int\'ezet\\
4032, Debrecen, Egyetem t\'er 1.
\end{center}

\vspace{1.5cm}

\noindent J\'o munk\'at k{\'\i}v\'an

\hspace{10cm} a Versenybizotts\'ag

\end{document}